a) Ta có: \(\widehat{ABE}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

\(\widehat{ACF}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)(CF là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

Xét ΔABE và ΔACF có 

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)(cmt)

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF(g-c-g)

Suy ra: BE=CF(Hai cạnh tương ứng)

c) Xét ΔABC có 

BE là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

CF là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

BE cắt CF tại D(gt)

Do đó: D là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC(Định lí ba đường phân giác)

Suy ra: D cách đều ba cạnh của tam giác ABC

hay DM=DK=DN(Đpcm)

a, Xét △BAH vuông tại H và △CAH vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

       AB = AC (gt)

=> △BAH = △CAH (ch-cgv)

=> BH = CH (2 cạnh tương ứng)

Mà H nằm giữa B, C

=> H là trung điểm BC

Ta có: BH + CH = BC => BH + BH = 12 => 2BH = 12 => BH = 6 (cm)

Xét △BAH vuông tại H có: AH² + BH² = AB² (định lý Pytago)

=> AH² = AB² - BH²  

=> AH² = 10² - 6² 

=> AH² = 64

=> AH = 8 (cm)

b, Ta có: MH = MB + BH và HN = HC + CN

Mà BH = HC (cmt) ; MB = CN (gt)

=> MH = HN

Xét △MHA vuông tại H và △NHA vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

      MH = HN (cmt)

=> △MHA = △NHA (2cgv)

=> HMA = HNA (2 góc tương ứng)

Xét △AMN có: AMN = ANM (cmt) => △AMN cân tại A

c, Xét △MBE vuông tại E và △NCF vuông tại F

Có: EMB = FNC (cmt)

      MB = CN (gt)

=> △MBE = △NCF (ch-gn)

=> MBE = NCF (2 góc tương ứng)

d, Vì △MHA = △NHA (cmt) => MAH = NAH (2 góc tương ứng)

=> AH là phân giác của MAN

Ta có: AE + EM = AM và AF + FN = AN 

Mà EM = FN (△MBE = △NCF) ; AM = AN (△AMN cân tại A)

=> AE = AF

Xét △EAK vuông tại E và △FAK vuông tại F

Có: AK là cạnh chung

       AE = AF (cmt)

=> △EAK = △FAK (ch-cgv)

=> EAK = FAK (2 góc tương ứng)

=> AK là phân giác EAF => AK là phân giác MAN

Mà AH là phân giác của MAN

=> AK ≡ AH 

=> 3 điểm A, H, K thẳng hàng

a: Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét \(\Delta\)ABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

=>H là trực tâm của \(\Delta\)ABC

=>AH vuông góc BC